Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点(2，)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．

 

Answer 1

（1）＝1（2）

【解析】(1)由已知，e＝＝，所以＝＝1－e2＝，所以a2＝2b2.

所以C：＝1，即x2＋2y2＝2b2.

因为椭圆C过点(2，)，代入椭圆方程得b2＝4，所以a2＝8.

所以椭圆C的标准方程为＝1.

(2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)．

根据题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，

由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y＝－(x－2)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由方程组消去y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|MN|＝＝.同理可得|PQ|＝.

所以