Question

【题目】已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；

（3）已知过点能作曲线的三条切线，求，所满足的条件.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析；（3）当时，；当时，

【解析】

（1）对求导，根据的符号判断的单调性；
（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；
（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.

解：（1）因为，

所以

，

所以当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减；

（2）因为，所以，.

又因为，.

所以曲线在点处的切线方程为；

曲线在点处的切线方程为.

因为.所以.所以两条切线不可能相同.

（3）设直线过点与曲线在点处相切，

设直线，

则

消去，得.

因为过点能作曲线的三条切线，

所以关于的方程有三个不等实根.

设，则有三个零点.

又，

①若，则，

所以在上单调递增，至多一个零点，

故不符合题意；

②若，则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以的极大值为，极小值为.

又有三个零点，所以，即，

所以；

③若，则

当时，，单调递增；

当，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的极大值为，极小值为.

又有三个零点，所以，即，

所以，

综上所述，当时，；当时，.