Question

【题目】如图所示，多面体中，四边形是矩形，已知，，，，，二面角的大小为．

（1）求证：平面；

（2）点在线段上，设，若二面角的正弦值为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）或．

【解析】

（1）要证平面，只需证明平面平面，由面面平行证明线面平行即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解的值．

（1）四边形是矩形，

，

则平面，

又，

则平面，

又，

平面平面，

平面，

平面．

（2），

二面角的平面角即为，

又，

平面，

平面，

平面平面，

作于点，

平面平面，且平面，

平面．

如图以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在的直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，

则

设，

设平面的法向量为，

，

由

可得平面的法向量为，

根据图象可知轴平面

平面的一个法向量为，

设二面角为

由图象可知为锐角

又二面角的正弦值为，

即①

由②

由①②解得：

故：二面角的余弦值为，

根据

则，

解得或，

或．