Question

【题目】已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线的斜率一定存在，可设斜率为，直线为，设，，由可得，，，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围。

解：（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.

∵抛物线的准线为，∴，

解得，∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.

设，，由消去得，，

∴，.

由于抛物线也是函数的图象，且，则：.

令，解得，∴，从而.

同理可得，，

∴ .

∵，∴的取值范围为.