Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），试猜想这个数列的通项公式为（　　）

• A、a_n=

  1

  n

• B、a_n=

  1

  2

  （n+

  1

  n

  ）
• C、a_n=n
• D、a_n=1

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由已知中a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），逐一求出a_n的值，归纳推理可得数列的通项公式．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），
∴a2=

1

2

(a1+

1

a1

)=

1

2

(1+1)=1，
a3=

1

2

(a2+

1

a2

)=

1

2

(1+1)=1，
a4=

1

2

(a3+

1

a3

)=

1

2

(1+1)=1，
…
由此猜想a_n=1．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=1，成立；
②假设n=k时，a_k=1成立，
当n=k+1时，ak+1=

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(1+1)=1，也成立．
由①②，知a_n=1．
故选：D

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意递推公式和数学归纳法的合理运用．