Question

18．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且它们所对的边a，b，c满足a+c=kb，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 利用角A、B、C成等差数列B=$\frac{π}{3}$，利用a+c=kb，可得sinA+sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，进而表示出k，即可求得实数k的取值范围．

解答 解：∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差数列，
∴B=π-（A+C）=π-2B，解之得B=$\frac{π}{3}$，
∵a+c=kb，
∴sinA+sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k
∴k=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）]=2sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1＜2sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴实数k的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查等差数列的性质，考查正弦定理，考查辅助角公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．