Question

已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
∴，g'（x）=2ax-1． …（2分）
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴，解得．…（4分）
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0
则，…（5分）
∴当x＞1时，y＜0；当-＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜-时，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（7分）
∴F（x）最大值为F（1）=ln1-（1-1）=0．
∴F（x）=f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e
∴f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，则，
由=0，得x=，
∵x∈（1，e^b）且b＞2e，
∴，e^b＞，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜，由G′（x）＜0，得，
∴G（x）在上单调递增，在上单调递减
∴当x=时，，…（10分）
∵b＞2e，∴，∴，∴
又∵G（1）=-1＜0G（e^b）=blne^b-e^2b=b²-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0，
∴方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内有两个实根．…（12分）
分析：（1）由，g'（x）=2ax-1，利用曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，能求出实数a、b的值．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0，则，由此推导出F（x）最大值为F（1）=0．从而能够证明f（x）≤g（x）．
（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e，知f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，令G（x）=blnx-x²，则，由此能够推导出方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内有两个实根．
点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查不等式恒成立的证明，考查方程的实根个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．