Question

从一块圆心角为

2π

3

，半径为R的扇形钢板上切割一块矩形钢板，请问怎样设计切割方案，才能使矩形面积最大？并说明理由．

Answer 1

考点：基本不等式,扇形面积公式

专题：不等式的解法及应用

分析：对甲种裁法分析设OE=a，EF=b，则得出面积，利用基本不等式求最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析设∠COB=θ，利用三角函数表示出长为2Rsin（60°-θ），用正弦定理，表示BC，进而表示出面积，比较看哪个面积大即可．

解答： 解：方案一：GF∥ON
设OE=a，EF=b，S矩形OEFG=OE×EF=ab≤

a2+b2

2

，a²+b²=R²
当a=b时，S_矩形OEFG的最大值为

R2

2

．


方案二：AB∥MN

设∠COB=θ，(0＜θ＜

π

3

)AB=2OCsin(

π

3

-θ)=2Rsin(

π

3

-θ)
在△BOC中运用正弦定理，

OC

sin∠OBC

=

BC

sin∠BOC

∠OBC=

2π

3

，

R

sin 2π 3

=

BC

sinθ

，BC=

2Rsinθ

3

，
S_矩形ABCD=AB×CD=

2Rsinθ

3

2Rsin(

π

3

-θ)，
令y=sinθsin(

π

3

-θ)=-

1

2

[cos(θ+

π

3

-θ)-cos(θ-

π

3

+θ)]=

1

2

cos(2θ-

π

3

)-

1

4

，当θ=

π

6

时，ymax=

1

4

，
S_矩形OEFG的最大值

R2

3

=

3 R2

3

而

3 R2

3

＞

R2

2

故选方案二才能使矩形面积最大．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及运用两角和与差的正弦函数的能力，求正弦函数最值的能力．