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袋中装有m个红球和n个白球,m≥n≥2,这些红球和白球除了颜色不同以外,其余都相同.从袋中同时取出2个球.
(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍,试证m必为奇数;
(2)在m,n的数组中,若取出的球是同色的概率等于不同色的概率,试求适合m+n≤40的所有数组(m,n).
分析:对于(1)首先设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍,k为整数.然后分别计算出取出2个球是红球的概率和取出的球是一红一白2个球的概率,列出关系式,判断m的奇偶性即可.
对于(2)在m,n的数组中,分别求出取出的球是同色的概率和不同色的概率,然后相等得到关系式∴m2-m+n2-n-2mn=0,又由m+n≤40,求出可能的组数即可得到答案.
解答:解:(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)
则有
C
2
m
C
2
m+n
=k
C
1
m
C
1
n
C
2
m+n

m(m-1)
2
=kmn

即m=2kn+1∵k∈Z,n∈Z,
即m为奇数得证.
(2)由题意,有
C
2
m
+
C
2
n
C
2
m+n
=
C
1
m
C
1
n
C
2
m+n

m(m-1)
2
+
n(n-1)
2
=mn

∴m2-m+n2-n-2mn=0
即(m-n)2=m+n,∵m≥n≥2,∴m+n≥4,
4≤m-n≤
40
<7
,m-n的取值只可能是2,3,4,5,6
相应的m+n的取值分别是4,9,16,25,36,
m=3
n=1
m=6
n=3
m=10
n=6
m=15
n=10
m=21
n=15

注意到m≥n≥2
∴(m,n)的数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15).
点评:此题主要考查排列组合等简单的计数问题,对学生灵活应用能力要求较高,题中涵盖知识点较多且有一定的计算量,属于中档题目.
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(1)若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍,试证:m 必为奇数;

(2)若取出的球是同色的概率等于不同色的概率,试求m+n≤40的所有数组(m,n).

 

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