Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F作一直线交椭圆于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别p、q，则

1

p

+

1

q

是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P，Q在x轴上的射影分别为M，N，求出左准线方程，P，Q在准线上的射影分别为：P'，Q'，再由椭圆的第二定义，推出焦半径公式，再求倒数和，注意化简整理，结合离心率公式，a，b，c的关系，即可得到定值．

解答： 解：

1

p

+

1

q

为定值

2a

b2

．
证明如下：设P，Q在x轴上的射影分别为M，N，
左准线方程：x=-

a2

c

，P，Q在准线上的射影分别为：P'，Q'．
设∠PFM=θ，则FM=pcosθ，FN=qcosθ，
由于e=

PF

PP′

，则PF=e（

a2

c

+x_P）=a+ex_P=a+e（pcosθ-c）=p，
解得，p=

a-ec

1-ecosθ

，
由于e=

QF

QQ′

，则QF=e（

a2

c

+x_Q）=a+ex_Q=a+e（-qcosθ-c）=q，
解得，q=

a-ec

1+ecosθ

，
则有

1

p

+

1

q

=

1-ecosθ+1+ecosθ

a-ec

=

2

a-ec

=

2

a- c2 a

=

2a

b2

．

点评：本题考查椭圆的性质和定义，考查椭圆的焦半径公式和离心率公式的运用，考查运算和化简整理能力，属于中档题和易错题．