Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρcos（θ+

π

4

）=

2

，曲线C₂的参数方程为

x=sinα y=cos2α

（α为参数），α∈[0，2π）．
（1）求曲线C₁ 的普通方程；
（2）试判断曲线C₁与C₂有无公共点，并说明理由．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：

分析：（1利用公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，以及两角和的余弦公式化简曲线C₁的方程，可得它的普通方程；
（2）由平方关系消去参数得到曲线C₁的普通方程，再在同一个坐标系中画出曲线C₁与C₂的图象，由图判断出它们无公共点．

解答： 解：（1）由ρcos（θ+

π

4

）=

2

得，ρ（cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=

2

，
则ρcosθ-sinθ=2，即x-y-2=0，
所以曲线C₁ 的普通方程是：x-y-2=0；
（2）由

x=sinα y=cos2α

得，

x=sinα y=1-sin2α

，消去参数得，y=1-x²（-1≤x≤1），
所以曲线C₂ 的普通方程是y=1-x²（-1≤x≤1），
在同一个坐标系中画出曲线C₁与C₂的图象，
由图得，曲线C₁与C₂有无公共点．

点评：本题考查了把参数方程、极坐标方程分别化为普通方程，两角和的余弦公式和平方关系，二次函数的图象，考查数形结合思想．