Question

已知函数f（x）=log₂（a-

2x

1+x

）（a＞0，b≠0）为奇函数．
（1）写出单调区间；
（2）解不等式f（x-1）+f（x）＞0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=0，求得a=1，可得f（x）=log₂（-1+

2

1+x

）．由-1+

2

1+x

＞0，求得函数f（x）的定义域为（-1，1），且函数在（-1，1）上单调递减，由此可得结论．
（2）不等式即f（x-1）＞f（-x），可得

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=log₂（a-

2x

1+x

）（a＞0，b≠0）为奇函数，故有f（0）=log₂a=0，∵a=1，
∴f（x）=log₂（1-

2x

1+x

）=log₂（-1+

2

1+x

）．
由-1+

2

1+x

＞0，求得-1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（-1，1），且函数在（-1，1）上单调递减，
故函数的减区间为（-1，1）．
（2）不等式f（x-1）+f（x）＞0，即f（x-1）＞-f（x）=f（-x），∴

-1＜x-1＜1 -1＜-x＜1 x-1＜-x

．
求得0＜x＜

1

2

，故不等式的解集为（0，

1

2

）．

点评：本题主要求函数的单调性和奇偶性的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．