Question

在数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n=（n+2）a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n=

1

a1a3

+

1

a2a4

+…+

1

anan+2

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2S_n=（n+2）a_n-1求出首项，取n=n-1得另一递推式，作差后可得

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2），然后利用累积法求数列的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入

1

anan+2

，整理后利用裂项相消法求T_n=

1

a1a3

+

1

a2a4

+…+

1

anan+2

的值．

解答： 解：（1）由2S_n=（n+2）a_n-1，得2S₁=2a₁=（1+2）a₁-1，即a₁=1；
当n≥2时，有2S_n-1=（n-1+2）a_n-1-1，
∴2a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，即

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2），
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=

n+1

n

•

n

n-1

…

3

2

•1=

n+1

2

（n≥2）．
n=1时上式成立，
∴an=

n+1

2

；
（2）

1

anan+2

=

1

n+1 2 • n+3 2

=

4

(n+1)(n+3)

=2(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴T_n=

1

a1a3

+

1

a2a4

+…+

1

anan+2

=2[(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n+1

-

1

n+3

)]
=2(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)=

5n2+15n+5

3(n+2)(n+3)

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用累积法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．