Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），它的左焦点为F（-c，0），直线l₁：y=x-c与椭圆C将于A，B两点，△ABF的周长为a³．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P是直线l₂：y=x-3c上的一个动点，经过点P作椭圆C的两条切线PM，PN，M，N分别为切点，求证：直线MN过定点，并求出此定点坐标．
（注：经过椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点（x₀，y₀）的椭圆的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用△ABF的周长为a³．求出a，利用椭圆C过(1，

3

2

)点，求出b，得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）利用椭圆方程求出c，l₂：y=x-3，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t-3）求出椭圆C的两条切线PM，PN的方程，求出MN的方程，利用直线系得到定点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）直线l₁：y=x-c经过椭圆的焦点坐标，
由题意，△ABF的周长为a³．
可得：4a=a³，a²=4，a=2…（2分）
又∵椭圆C过(1，

3

2

)点，∴

1

4

+

( 3 2 )2

b2

=1…（3分）
∴b²=3…（5分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）c=1，l₂：y=x-3设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t-3）
则直线lMP：

x1x

4

+

y1y

3

=1…（7分）
直线lPN：

x2x

4

+

y2y

3

=1…（8分）
又P（t，t-3）在上述两切线上，
∴

x1t

4

+

y1(t-3)

3

=1，

x2t

4

+

y2(t-3)

3

=1
∴直线lMN：

tx

4

+

(t-3)y

3

=1…（10分）
即：（3x+4y）t-12y-12=0
由

3x+4y=0 -12y-12=0

得

x= 4 3 y=-1

，
∴直线MN过定点，且定点坐标为(

4

3

，-1)…（13分）

点评：本题考查椭圆的主办方称的求法，椭圆的切线方程以及直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．