Question

已知函数f（x）=log_a（

1

ax

-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性（不需证明）．

Answer 1

考点：对数函数的单调区间,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）需要分类讨论，根据指数函数和对数函数即可求出定义域，
（2）根据复合函数的单调性，得到函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（

1

ax

-1），
∴

1

ax

-1＞0，
即a^x＜1，
当a＞1时，解得x＜0，
当0＜a＜1，解得x＞0，
故函数的定义域为，当a＞1时，为（-∞，0），
当0＜a＜1，为（0，+∞）
（2）设t=

1

ax

-1
当a＞1时，函数t=

1

ax

-1为减函数，y=log_at为增函数，
故函数f（x）为减函数，
当0＜a＜1时，函数t=

1

ax

-1为增函数，y=log_at为减函数，
故函数f（x）为减函数，
综上所述函数f（x）为减函数．

点评：本题考查了对数函数和指数函数的定义以及性质，以及复合函数的单调性，属于基础题