Question

2．函数f（x）=|x-1|-|x+1|，g（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（I）求不等式|f（x）|≤2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）的解集与函数f（x）的值域相同，求x轴被曲线y=g（x）截得的弦的长度的取值范围．

Answer 1

分析 （I）化简f（x）=|x-1|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜1}\\{-2，x≥1}\end{array}\right.$，从而可得不等式|f（x）|≤2恒成立，
（Ⅱ）可得不等式f（x）≥g（x）的解集为[-2，2]；从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（-2）=4a-2b+c=2}\\{g（2）=4a+2b+c=-2}\\{g（1）=a+b+c≤-2}\\{-2≤-\frac{b}{2a}≤2}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：（I）∵f（x）=|x-1|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜1}\\{-2，x≥1}\end{array}\right.$，
∴不等式|f（x）|≤2恒成立，
即不等式|f（x）|≤2的解集为R；
（Ⅱ）∵函数f（x）的值域为[-2，2]，
∴不等式f（x）≥g（x）的解集为[-2，2]；
作辅助图象如右图，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（-2）=4a-2b+c=2}\\{g（2）=4a+2b+c=-2}\\{g（1）=a+b+c≤-2}\\{-2≤-\frac{b}{2a}≤2}\end{array}\right.$，
解得，b=-1，c=-4a；a≥$\frac{1}{3}$；
故g（x）=ax²-x-4a，（a≥$\frac{1}{3}$）；
设与x轴的两个交点的坐标为（m，0），（n，0）；
则m+n=$\frac{1}{a}$，mn=-4；
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=$\frac{1}{{a}^{2}}$+16，
又∵0＜$\frac{1}{{a}^{2}}$≤9，
∴16＜16+$\frac{1}{{a}^{2}}$≤25，
∴x轴被曲线y=g（x）截得的弦的长度的取值范围为（4，5]．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了不等式与函数的关系应用．