Question

若关于x的方程

1

2

x2+

2a

x-

1

2

b+3=0与

1

4

x2+

2b

x-a+6=0在R上都有解，则2^3a•2^b的最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据二次方程根的个数与判别式有关，令两个方程的判别式都大于等于0，且注意被开方数大于等于0，列出不等式组，画出可行域；利用同底数的幂的运算法则化简要求的式子；利用线性规划求出指数的最小值，从而求出式子的最小值．

解答：解：∵

1

2

x2+

2a

x-

1

2

b+3=0在R上有解
∴△1=2a-4×

1

2

×(-

1

2

b+3)≥0
即2a+b≥6且a≥0①
∵

1

4

x2+

2b

x-a+6=0
∴△2=2b-4×

1

4

×(-a+6)≥0
即a+2b≥6且b≥0②作出①②对应的可行域


∵2^3a•2^b=2^3a+b，令z=3a+b变形为b=-3a+z，作出相应的直线，结合图象，当直线移至（0，6）时直线的纵截距最小，此时z最小为6
∴2^3a•2^b=2^3a+b≥2⁶=64
故答案为：64

点评：本题考查二次方程的根的个数取决于判别式、开偶次方根的被开方数大于等于0、不等式组表示的平面区域、利用线性规划求函数的最值、同底数的幂的运算法则．