Question

在棱长为1的正方体AC₁中，点P为侧面BB₁C₁C内一动点（含边界），若动点P始终满足PA⊥BD₁，则动点P的轨迹的长度为

2

．

Answer 1

分析：画出图形，由线面垂直的判定得到BD₁⊥面AB₁C，从而得到动点P的轨迹为线段B₁C，则长度可求．

解答：解：如图，
连结AC，BD，则AC⊥BD，
∵D₁D⊥面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又D₁D∩DB=D，∴AC⊥面D₁DB，∴BD₁⊥AC．
连结A₁B，AB₁，则A₁B⊥AB₁，
∵A₁D₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁D₁⊥AB₁．
又A₁D₁∩A₁B=A₁，∴AB₁⊥面A₁BD₁，∴BD₁⊥AB₁．
又AB₁∩AC=A，∴BD₁⊥面AB₁C，∴P点的轨迹为线段B₁C．
∴动点P的轨迹的长度为|B1C|=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和平面垂直的判定即性质，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．