Question

A、B是双曲线x²－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2
代入x²－＝1，整理得 (2－k)x²－2k(2－k)x－(2－k)²－2＝0   ①
记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则x₁、x₂是方程①的两个不同的实数根，所以2－k²≠0,且x₁＋x₂＝
由N(1,2)是AB中点得(x₁＋x₂)＝1
∴ k(2－k)＝2－k²，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程①得x²－2x－3＝0，解出    x₁＝－1,x₂＝3，由y＝x＋1得y₁＝0,y₂＝4
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得  x²＋6x－11＝0    ②
记C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)，以及CD中点为M(x₀,y₀)，则x₃、x₄是方程②的两个的实数根，所以
x₃＋x₄＝－6,  x₃x₄＝－11， 从而  x₀＝(x₃＋x₄)＝－3,y₀＝3－x₀＝6
|CD|＝＝
∴    |MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.

略