Question

（2013•盐城二模）若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为

3

5

．

Answer 1

分析：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=2，点C的坐标为（x，y），可得G（

x

3

，

y

3

）．根据AG⊥BG建立x、y的关系式，化简整理得x²+y²=9，得到点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）．运动点C并加以观察可得当C点在y轴时，∠C达到最大值，且sinC同时达到最大值，由此结合三角函数公式即可算出sinC的最大值．

解答：解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且

OG

=

1

3

OC

以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系
设AB=2，则A（-1，0），B（1，0），
设C（x，y），可得G（

x

3

，

y

3

）
∵AG⊥BG，∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（

x

3

）²+（

y

3

）²=1，整理得x²+y²=9
因此，点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）
在点C的运动中观察∠C的变化，可得当C点在y轴时，∠C达到最大值
而且sinC同时达到最大值．
此时tan

C

2

=

1

3

，可得sinC=

2tan C 2

1+tan2 C 2

=

3

5

故选：

3

5

点评：本题给出三角形的重心G对A、B的张角为直角，求角C的正弦最大值，着重考查了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题．