Question

1．已知函数f（x）=4^x-2^x-a，a∈R．
（1）若f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=-1，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）若f（x）＞1恒成立，则函数f（x）的最小值大于1，利用换元法，结合指数函数和二次函数的图象和性质，求解可得实数a的取值范围；
（2）若a=-1，令t=2^x，t＞0，结合复合函数的单调性和指数函数的单调性，可得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）令t=2^x，t＞0，
则y=t²-t-a，t＞0，
由y=t²-t-a的图象是开口朝上且以直线t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\frac{1}{2}$时，即x=-1时，函数f（x）取最小值-a-$\frac{1}{4}$，
若f（x）＞1恒成立，则-a-$\frac{1}{4}$＞1，
解得：a＜-$\frac{5}{4}$，
（2）若a=-1，则f（x）=4^x-2^x+1，
令t=2^x，t＞0，
则y=t²-t+1，t＞0，
由y=t²-t+1的图象是开口朝上且以直线t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故y=t²-t+1在（0，$\frac{1}{2}$]上为减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
又由t=2^x为增函数，且x=-1时，t=2^x=$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的单调递增区间为：[-1，+∞），单调递减区间（-∞，-1]

点评 本题考查的知识点：指数函数的单调性，复合函数的单调性，二次函数的对称轴和单调区间的关系．