Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t；
（Ⅲ）若（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n₁的取值集合．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为等差数列{a_n}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）
由a₂•a₁₀＞0，得（a₅-3d）（a₅+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，解得．
注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1．（3分）
（Ⅱ）解：由a₃=2，a₅=6，得，
从而a_n=a₃+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故．（5分）
由，成等比数列，得此等比数列的公比为，
从而
由2n_t-4=2•3^t+1，解得n_t=3^t+1+2，t=1，2，3，．（7分）
（Ⅲ）解：由，得．
由，成等比数列，得．
由，化简整理得（9分）
因为n₁＞5，从而a₃＞0，
又n₁∈Z且d≠0，从而a₃是12的非6的正约数，故a₃=1，2，3，4，12．（10分）
①当a₃=1或a₃=3时，，
这与{a_n}的各项均为整数相矛盾，所以，a₃≠1且a₃≠3．（11分）
②当a₃=4时，由，
但此时，这与{a_n}的各项均为整数相矛盾，所以，a₃≠4．（12分）
③当a₃=12时，同理可检验a_n2∉Z，所以，a₃≠12．（13分）
当a₃=2时，由（Ⅱ）知符合题意．
综上，n₁的取值只能是n₁=11，即n₁的取值集合是{11}．（14分）
分析：（I）要求d，则用“a₅，d”表示a₂•a₁₀＞0，再由各项均为整数从而求得d；
（II）因为成等比数列且知道首项，故先求出公比，再用通项公式求解；
（III）与（II）思路相同，区别在于过程中用a₃表示．
点评：本题主要考查等差、等比数列的概念以及分类讨论的思想．