Question

已知函数f（x）=2^x+2^-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=-1代入，f（x）=4可得到一个关于x的指数方程，利用换元法可将方程转化为一个二次方程，解方程即可求出答案．
（2）利用定义法（作差法），我们分别取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，然后作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，然后根据单调性的定义，即可判断出函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）由于f（2x）＞[f（x）]²?2^-2x（a²-a）+2a＜0，利用换元法，我们可将不等式进一步转化为：存在t∈[

1

4

，1]，使得（a²-a）t+2a＜0，构造关于t的函数g（t）=（a²-a）t+2a，我们可得到g（

1

4

）＜0或g（1）＜0，解关于a的不等式即可得到答案．

解答：解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2^x-2^-x=4，设2^x=t，
则有t-t^-1=4，即t²-4t-1=0，解得t=2±

5

（2分）
当t=2+

5

时，有2x=2+

5

，可得x=log2(2+

5

)．
当t=2-

5

时，有2x=2-

5

，此方程无解．
故所求x的值为log2(2+

5

)．（4分）
（2）设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，
则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)
=(2x1-2x2)+

2x2-2x1

2x1+x2

a
=

2x1-2x2

2x1+x2

(2x1+x2-a)（7分）
由x₁＞x₂，可得2x1＞2x2，即2x1-2x2＞0
由x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＞x₂，可得x₁+x₂＞2，
故2x1+x2＞4＞0，
又a≤4，故2x1+x2＞a，即2x1+x2-a＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）因为函数f（x）=2^x+2^-xa，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]²?2^2x+2^-2x＞2^2x+2a+2^-2xa²?2^-2x（a²-a）+2a＜0（12分）
设t=2^-2x，由x∈[0，1]，可得t∈[

1

4

，1]，
由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]²，
可得存在t∈[

1

4

，1]，使得（a²-a）t+2a＜0，（14分）
令g（t）=（a²-a）t+2a＜0，
故有g(

1

4

)=

1

4

(a2-a)+2a＜0或g（1）=（a²-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．（16分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，指数函数的单调性与特殊点，其中在解决复杂的指数方程或不等式进，利用换元法将问题转化为二次函数或其它我们熟悉的函数问题是解答此类问题常用的办法．