Question

（2013•江门一模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

2

，过A作AE⊥CD，垂足为E．F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D-AE-C的平面角为135°．
（1）求证：平面DCE⊥平面ABCE；
（2）求直线FG与面DCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．
（2）作平面的垂线，得直线在平面内的射影，再在三角形中求解即可；
或利用向量的数量积公式，求直线向量与平面法向量夹角的余弦即为线面角的正弦．

解答：解：（1）证明：∵DE⊥AE，CE⊥AE，DE∩CE=E，DE，CE?平面CDE，∴AE⊥平面CDE，
∵AE?平面ABCE，∴平面DCE⊥平面ABCE．        
（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系 
∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D-AE-C的平面角，即∠DEC=135°，
∵AB=1，BC=2，CD=1+

2

，∴A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，-1，1）．
∵F、G分别是CE、AD的中点，∴F(0，

1

2

，0)，G(1，-

1

2

，

1

2

)，
∴

FG

=(1，-1，

1

2

)，

AE

=（-2，0，0），（11分）
由（1）知

AE

是平面DCE的法向量，
设直线FG与面DCE所成角α(0≤α≤

π

2

)，
则sinα=|

FG • AE

| FG || AE |

|=|

-2

3 2 ×2

|=

2

3

，
故求直线FG与面DCE所成角的正弦值为

2

3

． 

（方法二）作GH∥AE，与DE相交于H，连接FH，
由（1）知AE⊥平面CDE，所以GH⊥平面CDE，∠GFH是直线FG与平面DCE所成角．
∵G是AD的中点，∴GH是△ADE的中位线，GH=1，EH=

2

2

，
∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D-AE-C的平面角，即∠DEC=135°，
在△EFH中，由余弦定理得，FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos∠FEH

1

4

+

1

2

-2×

1

2

×

2

2

×(-

2

2

)=

5

4

，∴FH=

5

2

，
∵GH⊥平面CDE，所以GH⊥FH，在Rt△GFH中，GF=

GH2+FH2

=

3

2

∴直线FG与面DCE所成角的正弦值为sin∠GFH=

GH

GF

=

2

3

．

点评：本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角有两种思路：一是，通过作角--证角--求角；二是，利用向量数量积公式求解，直线向量与平面法向量夹角的余弦即为直线与平面所成角的正弦．