Question

18．已知斜率为2的直线经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦点F₁，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，
c=$\sqrt{5-4}$=1，右焦点为（1，0），
直线的方程为y=2（x-1），
代入椭圆方程，可得
6x²-10x=0，
解得x=0或x=$\frac{5}{3}$，
即有交点为A（0，-2），B（$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$），
则弦长为|AB|=$\sqrt{（0-\frac{5}{3}）^{2}+（-2-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基础题．