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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,AC⊥BC,D是棱AA1的中点,AA1=2AC=2BC=2a(a>0).
(1)证明:C1D⊥平面BDC;
(2)求三棱锥C-BC1D的体积.
(1)证明:∵BC⊥CC1,BC⊥AC,AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1
C1D?平面ACC1A1,∴BC⊥C1D,
A1C1=A1D=AD=AC,∴A1DC1=∠ADC=
π
4

C1DC=
π
2
,即C1D⊥DC,
又BD∩CD=C,∴C1D⊥平面BDC,
(2)三棱锥C-BC1D即三棱锥C1-BCD,由(1)知BC⊥CD,
CD=
2
a,BC=a
∴△BCD的面积S=
1
2
×BC×CD=
2
2
a2

由(1)知,C1D是三棱锥C1-BCD底面BDC上的高,
∴体积V=
1
3
Sh=
1
3
×S×C1D
=
1
3
×
2
2
a2×
2
a=
1
3
a3
练习册系列答案
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=3的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)求证:面PAD⊥面PAB.
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的大小.

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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别为A1B1、A1A的中点.
(Ⅰ)求cos<
BA1
CB1
>的值;
(Ⅱ)求证:BN⊥平面C1MN;
(Ⅲ)求点B1到平面C1MN的距离.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论.

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如图1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图2所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.
(1)求证:DE⊥平面BCD;
(2)若EF平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.

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在长方形AA1B1B中,AB=2AA1,C,C1分别AB,A1B1是的中点(如图1).将此长方形沿CC1对折,使平面AA1C1C⊥平面CC1B1B(如图2),已知D,E分别是A1B1,CC1的中点.
(1)求证:C1D平面A1BE;
(2)求证:平面A1BE⊥平面AA1B1B.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上,O为AC与BD的交点.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当E为PB中点时,求证:OE平面PDA,OE平面PDC.
(3)当PD=
2
AB
且E为PB的中点时,求AE与平面PBC所成的角的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,CDAB,AB=4,CD=1,点M在PB上,且MB=3PM,PB与平面ABC成30°角.
(1)求证:CM面PAD;
(2)求证:面PAB⊥面PAD;
(3)求点C到平面PAD的距离.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PC=
2
a
,则它的五个面中,互相垂直的面是______.

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