Question

设

a

，

b

，

c

 是空间任意的非零向量，且相互不共线，则以下命题中：
①（

a

?

b

）?

c

-（

c

?

a

 ）?

b

=0；②|

a

|+|

b

|＞|

a

-

b

|；③若存在唯一实数组λ，μ，γ 使γ

c

=λ

a

+μ

b

，则

a

，

b

，

c

共面；④|

a

-

b

|?|

c

|=|

a

c

-

b

c

|．真命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根据两个向量数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答：解：由题意可得，

a

，

b

，

c

是空间任意的非零向量，且相互不共线．
由于（

a

•

b

）•

c

 表示与

c

共线的向量，而（

c

•

a

）•

b

表示与

b

共线的向量，故①（

a

•

b

）•

c

≠（

c

•

a

）•

b

，故①不正确．
根据三角形任意两边之和大于第三边，而|

a

|、|

b

|、|

a

-

b

|可构成三角形的三个边，∴②|

a

|+|

b

|＞|

a

-

b

|正确．
当

a

，

b

，

c

不共面时，则

a

，

b

，

c

中的任何一个向量没有办法用其它两个向量表示，故③不正确．
由于|

a

-

b

|•|

c

|=

( a - b )2• c 2

，|

a

c

-

b

c

|=

( a • c - b • c )2

=

( a - b )2• c 2

，故④正确．
故选：C．

点评：本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．