Question

7．函数f（x）=sin²[x]十sin²{x}-1（x∈[0，100]）的零点个数为32，函数g（x）=[x]．{x}-$\frac{1}{3}$x-1（x∈[0，100]）的零点个数为97（注：其中[x]和{x}分别表示x的整数部分与小数部分．）

Answer 1

分析 根据定义分别求出f（x）=0和g（x）=0，将函数方程转化为sin²[x]+sin²{x}-1=0和[x]•{x}=$\frac{1}{3}x$，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．

解答 解：由f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0，得sin²{x}=1-sin²[x]=cos²[x]．
则{x}=$\frac{π}{2}$+2kπ+[x]或{x}=-$\frac{π}{2}$+2kπ+[x]，
即{x}-[x]=$\frac{π}{2}$+2kπ或{x}-[x]=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
即x=$\frac{π}{2}$+2kπ或x=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
若x=$\frac{π}{2}$+2kπ，∵0≤x≤100，
∴当k=0时，x=$\frac{π}{2}$，由x=$\frac{π}{2}$+2kπ≤100，解得k≤15.7，即k≤15，此时有16个零点，
若x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，∵0≤x≤100，
∴当k=0时，x=-$\frac{π}{2}$不成立，由x=-$\frac{π}{2}$+2kπ≤100，解得k≤16.2，即k≤16，此时有16个零点，
综上f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零点个数为16+16=32个．
∵{x}=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x＜1}\\{x-1，1≤x＜2}\\{…}\\{x-99，99≤x＜100}\\{x-100，x=100}\end{array}\right.$，
∴[x]•{x}=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x＜1}\\{x-1，1≤x＜1}\\{…}\\{99（x-99），99≤x＜100}\\{100（x-100），x=100}\end{array}\right.$，
由g（x）=0，得[x]•{x}=$\frac{1}{3}x$+1，分别作出函数h（x）=[x]{x}和y=$\frac{1}{3}x$+1的图象如图：
由图象可知，当0≤x＜1和1≤x＜2时，函数h（x）=[x]{x}和y=$\frac{1}{3}x$+1没有交点，
但2≤x＜3时，函数h（x）=[x]{x}和y=$\frac{1}{3}x$+1在每一个区间上只有一个交点，
∵0≤x＜100，
∴g（x）=[x]•{x}-$\frac{1}{3}x$-1的零点个数为100-2-1=97个．
故答案为：32；97．

点评 本题主要考查函数的新定义题，利用定义作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．