Question

【题目】若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn ， 若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 对一切n∈N* ， 求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵数列{bn}满足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ． ∴a1+1=2，解得a1=1．
又数列{an}是公差为2的等差数列，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
∴2nbn=nbn+1 ， 化为2bn=bn+1 ，
∴数列{bn}是等比数列，公比为2．
∴bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn= = = ，
数列{cn}的前n项和为Tn=1+ +…+ ，
∴ = +…+ + ，
∴ =1+ + +…+ ﹣ = ﹣ =2﹣ ，
∴Tn=4﹣ ．
不等式（﹣1）nλ＜Tn+ ，化为：（﹣1）nλ＜4﹣ ，
n=2k（k∈N*）时，λ＜4﹣ ，∴λ＜2．
n=2k﹣1（k∈N*）时，﹣λ＜4﹣ ，∴λ＞﹣2．
综上可得：实数λ的取值范围是（﹣2，2）．
【解析】（I）数列{bn}满足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ． 可得a1+1=2，解得a1 ． 利用等差数列的通项公式可得an ． 可得2nbn=nbn+1 ， 化为2bn=bn+1 ， 利用等比数列的通项公式可得bn ． （Ⅱ）设数列{cn}满足cn= = = ，利用“错位相减法”可得数列{cn}的前n项和为Tn ， 再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．