Question

1．已知x，y满足区域 D：$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x-y-1≤0\end{array}$，给出下面4个命题：
p₁：?x，y∈D，2x-y≥2
p₂：?x，y∈D，2x-y≤2
p₃：?x，y∈D，$\frac{y+1}{x+2}＜\frac{1}{3}$
p₄：?x，y∈D，$\frac{y+1}{x+2}≥\frac{1}{3}$，
其中真命题是（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₂，p₃
• C． p₁，p₄
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 由题意作出其平面区域，令z=2x-y，由几何意义可知-6≤z≤3；再由$\frac{y+1}{x+2}$表示区域内的点（x，y）与定点（-2，-1）的连线的斜率，从而确定答案即可．

解答 解：由题意作出其平面区域，如图所示的阴影部分△ABC，
令z=2x-y，则由图象可知，
直线2x-y-z=0经过点C时，z取得最大值，
经过点A时，z取得最小值；
由于C（2，1），A（-1，4）；
故-6≤z≤3；
故p₂：?x，y∈D，2x-y≤2正确；
而$\frac{y+1}{x+2}$表示区域内的点（x，y）与定点（-2，-1）的连线的斜率，
故结合图象可知，$\frac{1}{3}$≤$\frac{y+1}{x+2}$≤5，
故p₄：?x，y∈D，$\frac{y+1}{x+2}≥\frac{1}{3}$正确；
故选D．

点评 本题考查了全称命题与特称命题的真假性的判断及简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．