Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是150°．

Answer 1

分析 根据已知条件即可得到$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，所以根据$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}，|\overrightarrow{b}|=2$进行数量积的运算即可得到3$+2\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，所以求出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而便求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3+2\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°．
故答案为：150°．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．