Question

8．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：
①f（x）在[a，b]内是单调增函数；
②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间“．
若函数g（x）=4-me^-x存在“倍值区间“，则实数m的取值范围是（0，2e）．

Answer 1

分析 若函数g（x）=4-me^-x存在“倍值区间”，则函数g（x）=4-me^-x为增函数，故m＞0，进而构造函数y=（4-2x）e^x，利用导数法，求出函数的最大值，可得实数m的取值范围．

解答 解：若函数g（x）=4-me^-x存在“倍值区间”，
则函数g（x）=4-me^-x为增函数，
故m＞0，
且方程2x=4-me^-x有两个不等的根，
即m=（4-2x）e^x有两个不等的根，
令y=（4-2x）e^x，则y′=（2-2x）e^x，
令y′=0，则x=1，
当x＜1时，y′＞0，y=（4-2x）e^x为增函数；
当x＜1时，y′＜0，y=（4-2x）e^x为减函数；
故当x=1时，函数y=（4-2x）e^x取最大值2e，
则m＜2e，
综上所述，实数m的取值范围是：（0，2e），
故答案为：（0，2e）

点评 本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，属于中档题．