Question

19．如图，过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，C为抛物线准线与x轴的交点，且∠CFA=135°，则tan∠ACB=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据直线l的斜率k=1，设出A的坐标，代入抛物线y²=2px，求出A的坐标，可求tan∠ACF，同理可得tan∠BCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用二倍角的正切公式，即可得出结论．

解答 解：∵直线l的斜率k=l，
∴可设A（$\frac{p}{2}$+y，y），代入抛物线y²=2px，
可得y²=2p（$\frac{p}{2}$+y），
∴y=p+$\sqrt{2}$p，
∴tan∠ACF=$\frac{y}{p+y}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）p}{（2+\sqrt{2}）p}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
同理tan∠BCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ACB=tan（2∠ACF）=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查二倍角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．