Question

11．在△ABC中，a，b，c是其三个内角A，B，C的对边，且a≥b，sin2A+$\sqrt{3}$cos2A=2sin2B
（Ⅰ）求角C的大小
（Ⅱ）设c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简已知可得sin（2A+$\frac{π}{3}$）=sin2B，从而有2A+$\frac{π}{3}$=2B或2A+$\frac{π}{3}$=π-2B，结合已知大边对大角即可解得C的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求sinC，由余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$可得ab≤1，从而可求△ABC的面积S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵sin2A+$\sqrt{3}$cos2A=2sin2B，
∴2（$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A）=2sin2B，
∴2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=2sin2B，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=sin2B，
∴2A+$\frac{π}{3}$=2B或2A+$\frac{π}{3}$=π-2B，
由a≥b，知A≥B，所以2A+$\frac{π}{3}$=2B不可能成立，所以2A+$\frac{π}{3}$=π-2B，
即A+B=$\frac{π}{3}$，
所以C=$π-\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），C=$\frac{2π}{3}$，所以sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$⇒-$\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-3}{2ab}$⇒-ab=a²+b²-3⇒3-ab=a²+b²≥2ab⇒ab≤1，
即△ABC的面积S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．