Question

1．已知点A是抛物线x²=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得$\frac{1}{m}$=$\frac{|PN|}{|PA|}$，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．

解答 解：过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，
∴|PA|=m|PN|
∴$\frac{1}{m}$=$\frac{|PN|}{|PA|}$，
设PA的倾斜角为α，则sinα=$\frac{1}{m}$，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（$\sqrt{2}$-1），
∴双曲线的离心率为$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故选B．

点评 本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．