Question

10．求函数y=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{x}-k{b}^{x}}}$（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）的定义域．

Answer 1

分析 根据函数成立的条件，结合指数函数的性质，分别进行讨论即可．

解答 解：要使函数有意义，则a^x-kb^x＞0即$（\frac{a}{b}）^{x}-k＞0$，
当a=b，则不等式等价为1-k＞0，解得k＜1，此时函数的定义域为R，
当a≠b，
若k≥0，则不等式恒成立，此时函数的定义域为R，
若k＜0，则不等式$（\frac{a}{b}）^{x}-k＞0$，即$（\frac{a}{b}）^{x}$＞k，
若$\frac{a}{b}$＞1，则x＞$\frac{lnk}{ln\frac{a}{b}}$=$\frac{lnk}{lna-lnb}$，此时定义域为（$\frac{lnk}{lna-lnb}$，+∞），
若0＜$\frac{a}{b}$＜1，则x＜$\frac{lnk}{ln\frac{a}{b}}$=$\frac{lnk}{lna-lnb}$，此时定义域为（-∞，$\frac{lnk}{lna-lnb}$）．

点评 本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件，利用分类讨论进行求解即可．