Question

6．已知集合A={x∈R|x⁴+mx-2=0}，满足a∈A的所有点M（a，$\frac{2}{a}$）均在直线y=x的同侧，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{2}$，-1）∪（1，$\sqrt{2}$）
• C． （-5，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，6）
• D． （-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

分析 原方程等价于x³+m=$\frac{2}{x}$，原方程的实根是曲线y=x³+m与曲线y=$\frac{2}{x}$的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分m＞0与m＜0讨论，可得答案

解答 解：∵集合A={x∈R|x⁴+mx-2=0}，
∴方程的根显然x≠0，原方程等价于x³+m=$\frac{2}{x}$，
原方程的实根是曲线y=x³+m与曲线y=$\frac{2}{x}$的交点的横坐标，
而曲线y=x³+m是由曲线y=x³向上或向下平移|m|个单位而得到的，
若交点（x₁，$\frac{2}{{x}_{1}}$）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=$\frac{2}{x}$交点为：（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
所以结合图象可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{（-\sqrt{2}）^{3}+m＞-\sqrt{2}}\\{x＜-\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{（\sqrt{2}）^{3}+m＜\sqrt{2}}\\{x＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得m＞$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$．
答案为：m＞$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质