Question

11．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AB＞A₁B₁，给出如下两个命题：命题甲：AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁；命题乙：多面体ABC-A₁B₁C₁是棱台．试问：从命题甲能否推出命题乙？反之，结果如何？

Answer 1

分析 根据棱台的结构特征（底面是多边形、侧面是梯形、两底面互相平行以及平行于底面的截面与底面相似）进行判定“从命题甲能否推出命题乙？”；然后由棱台的定义来推知从命题乙能推出命题甲．

解答 解：∵AB∥A₁B₁，且AB＞A₁B₁，
∴AA₁和BB₁延长后必交于一点，可以知道AA₁、BB₁、CC₁延长后必交于一点，记为M，则M-ABC是三棱锥．
∵AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，易知平面A₁B₁C₁∥平面ABC．
故多面体ABC-A₁B₁C₁是棱台．
∴从命题甲能推出命题乙．反之，从定义可以得到：从命题乙能推出命题甲．

点评 本题考查了棱台的结构特征．解题的关键的掌握棱台的结合特征和棱台的定义，也考查了学生的空间想象能力．