Question

20．已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{21}$，且sinC+sin（B-A）=5sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由$c{sinA}=\sqrt{3}acosC$，利用正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，于是$sinC=\sqrt{3}cosC$，即可得出；
（II）由sinC+sin（B-A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$c{sinA}=\sqrt{3}acosC$，由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
sinA≠0，
∴$sinC=\sqrt{3}cosC$，
得$tanC=\frac{sinC}{cosC}=\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$．
（II）∵sinC+sin（B-A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵△ABC为斜三角形，
∴cosA≠0，
∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a  （1）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴$21={a^2}+{b^2}-2ab×\frac{1}{2}$，（2）
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×1×5×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．