Question

10．一位同学在研究一个定义在R上的奇函数f（x）时，得到下面四个结论：①?x∈R，都有f（2-x）=f（x）；②在区间（-∞，0）上单调递减；③若在区间[0，1]上单调递增，则在[-2，-1]上单调递减；④f（x）是周期函数．则以上结论中能同时成立的最多有3个．

Answer 1

分析 ①?x∈R，都有f（2-x）=f（x），则f（2+x）=f（-x）=-f（x），可得f（4+x）=f（x），可得函数f（x）是周期为4的函数；
②在区间（-∞，0）上单调递减，则在（0，+∞）也单调递减；
③若在区间[0，1]上单调递增，则在[-2，-1]上单调递减；
于是②③只有一个正确；
④f（x）是周期函数与①不矛盾．

解答 解：①?x∈R，都有f（2-x）=f（x），则f（2+x）=f（-x）=-f（x），f（4+x）=-f（2+x）=f（x），可得函数f（x）是周期为4的函数；
②在区间（-∞，0）上单调递减，则在（0，+∞）也单调递减；
③若在区间[0，1]上单调递增，则在[-2，-1]上单调递减；
因此②③只有一个正确；
④f（x）是周期函数．
综上可得：以上结论中能同时成立的最多有3个．
故答案为：3．

点评 本题考查了奇函数的周期性单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．