Question

15．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，给出四个结论：
（1）a₂+a₈≠a₁₀
（2）S_n=an²+bn（a≠0）
（3）若m，n，p，q∈N₊，则a_m+a_n=a_p+a_q的充要条件是m+n=p+q
（4）若S₆=S₁₁，则a₉=0
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质即可判断出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d．
（1）a₂+a₈=2a₁+8d，a₁₀=a₁+9d，若a₂+a₈=a₁₀，则a₁=d，因此若a₁≠d，则a₂+a₈≠a₁₀，因此不正确；
（2）S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{d}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\frac{d}{2}）n$，若S_n=an²+bn，a可以为0，因此不正确；
（3）若m，n，p，q∈N₊，则a_m+a_n=a_p+a_q?2a₁+（m+n-2）d=2a₁+（p+q-2）d?（m+n-p-q）d=0，因此m+n=p+q是a_m+a_n=a_p+a_q的充分不必要条件，不正确；
（4）若S₆=S₁₁，$6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d$=$11{a}_{1}+\frac{11×10}{2}d$，化为a₁+8d=0，则a₉=0，正确．
其中正确命题的个数为1．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．