Question

5．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：BC′∥平面AB′D′；
（Ⅱ）棱CC′上是否存在一点M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 连结A′B交AB′于点E，连结D′E，证明D′E∥BC′，利用在与平面平行的判定定理证明BC′∥平面AB′D′．
（Ⅱ） 作A′M⊥AD′，交CC′于M，通过证明△A′AD∽△C′A′M，求出CM的长，得到结果．

解答 解：（Ⅰ） 连结A′B交AB′于点E，连结D′E，
∵四边形A′ABB′为矩形，∴E为A′B的中点，
又∵D′是棱A′C′的中点
∴D′E∥BC′
∵D′E?平面AB′D′BC′?平面AB′D′
∴BC′∥平面AB′D′…（6分）
（Ⅱ） 作A′M⊥AD′，交CC′于M
∵D′是棱A′C′的中点
∴B′D′⊥A′C′
∴B′D′⊥平面A′ACC′
∴B′D′⊥A′M
∴A′M⊥平面AB′D′
此时△A′AD∽△C′A′M
∴$\frac{A'A}{A'D'}=\frac{A'C'}{C'M}$，即$C'M=\frac{A'C'•A'D'}{A'A}=\frac{2×1}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$CM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
即当$CM=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$时，A′M⊥平面AB′D′．…（12分）

点评 本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．