Question

16．已知圆C的方程为（x-3）²+（y-4）²=1，过直线l：3x+ay-5=0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为$\sqrt{15}$，则直线l的斜率为$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标和半径，把过直线l：3x+ay-5=0（a＞0）上的任意一点作圆C的切线，切线长最小转化为圆心到直线l的距离最小，利用点到直线的距离公式得答案．

解答 解：如图，由（x-3）²+（y-4）²=1，得圆心坐标为（3，4），

要使切线长最小，即圆心到直线l：3x+ay-5=0（a＞0）的距离最小，
∵圆的半径为1，切线长为$\sqrt{15}$，
∴圆心到直线l：3x+ay-5=0（a＞0）的距离等于$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{15}）^{2}}=4$．
再由$\frac{|3×3+4a-5|}{\sqrt{9+{a}^{2}}}=4$，解得：a=4．
此时直线l的斜率为$-\frac{3}{a}=-\frac{3}{4}$．
故答案为：$-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．