Question

8．已知二次函数f（x）满足：①过点（1，-4）；②图象与y轴交点的纵坐标为-3，且在该点处的切线与曲线y=x³+10x在x=-2处的切线平行；
（1）求二次函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（xlnx），求g（x）在x∈[1，e]上的值域；
（3）若曲线y=f（$\frac{lnx}{x}$），x∈（e，+∞）上任意一点处的切线的斜率大于a³-a+22-$\frac{46}{e}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出函数的解析式，利用已知条件求出系数，运用导数的几何意义，即可得到解析式；
（2）求出函数g（x）=f（xlnx）的解析式，利用函数的导数判断函数在x∈[1，e]的单调性，然后求解值域；
（3）运用换元法和导数求得t的范围，利用导函数恒大于a³-a+22-$\frac{46}{e}$，求出最值然后求解a的取值范围．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
则f（1）=-4，可得a+b+c=-4，
f（0）=-3，可得c=-3，
f′（x）=2ax+b，即有f′（0）=b，
又y=x³+10x的导数为y′=3x²+10，在x=-2处的切线斜率为12+10=22，
即有b=22，a=-23．
则f（x）=-23x²+22x-3；
（2）g（x）=f（xlnx）=-23（xlnx）²+22xlnx-3
=-23（xlnx-$\frac{11}{23}$）²+$\frac{52}{23}$．
令t=xlnx，∴当x∈[1，e]时，t'=1+lnx≥1＞0，
∴t=xlnx在x∈[1，e]上单调递增
∴0≤t≤e，∴当t=$\frac{11}{23}$时[g（x）]_max=$\frac{52}{23}$，
当t=e时[g（x）]_min=-23e²+22e-3，
则g（x）在x∈[1，e]上的值域为[-23e²+22e-3，$\frac{52}{23}$]；
（3）f（$\frac{lnx}{x}$）=-23（$\frac{lnx}{x}$）²+22•$\frac{lnx}{x}$-3
令t=$\frac{lnx}{x}$∵x∈（e，+∞）∴t′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，即有t＜$\frac{1}{e}$，
∴f（t）=-23t²+22•t-3，
∴f'（t）=-46t+22，
由t＜$\frac{1}{e}$，则f'（t）＞22-$\frac{46}{e}$，
由题意得a³-a-2＜f'（t）恒成立，
∴a³-a+22-$\frac{46}{e}$≤22-$\frac{46}{e}$，即a³-a≤0，
∴a（a+1）（a-1）≤0，
∴a的取值范围为a≤-1或0≤a≤1．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，同时考查转化思想．