Question

14．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，则目标函数z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范围为（　　）

• A． [2，$\frac{5}{2}$]
• B． [$\frac{5}{2}$，$\frac{10}{3}$]
• C． [2，$\frac{10}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，2]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合求得$\frac{y}{x}$的范围，令t=$\frac{y}{x}$，由函数$y=x+\frac{1}{x}$的单调性求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，则A（3，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，则B（1，2），
由图可知，$\frac{y}{x}$的最小值为$\frac{1}{3}$，最大值为2．
令t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{3}，2$]，f（t）=$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=t+\frac{1}{t}$，
则当t=1时，t+$\frac{1}{t}$有最小值为2；
又$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{3}+\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}$，f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范围是[2，$\frac{10}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．