Question

3．设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q，[a_n]表示不超过实数a_n的最大整数（如[1.2]=1），设b_n=[a_n]，数列{b_n}的前n项和为T_n，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若a₁=4，q=$\frac{1}{2}$，求S_n及T_n；
（Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数n，都有T_n=2n+1，证明：（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2013}}$＜q＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出等比数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n，再求数列{b_n}的通项公式b_n与前n项和T_n；
（Ⅱ）由数列{b_n}的前n项和T_n，得出通项公式b_n，从而得出a_n的取值范围，再结合a₁求出q的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）在等比数列{a_n}中，a₁=4，q=$\frac{1}{2}$，
∴通项公式a_n=4•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{n-3}$，
前n项和为S_n=$\frac{4（1{-（\frac{1}{2}）}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$=8（1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$）；
∵a₁=4，a₂=2，a₃=1，且n＞3时，0＜a_n＜1；
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2，n=2}\\{1，n=3}\\{0，n＞3}\end{array}\right.$，
前n项和为T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{6，n=2}\\{7，n≥3}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵T_n=2n+1，（1≤n≤2015），
且b₁=3，
∴b_n=T_n-T_n-1=2，（2≤n≤2015），
又∵b_n=[a_n]，∴3≤a₁＜4，
∴2≤a_n＜3，（2≤n≤2015），
又∵q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，∴0＜q＜1，…①
∴q²⁰¹³=$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2}}$，
∴2≤a₂₀₁₅＜3，
2≤a₂＜3，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{{a}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$＜q²⁰¹³≤$\frac{3}{2}$，
∴${（\frac{2}{3}）}^{\frac{1}{2013}}$＜q≤${（\frac{3}{2}）}^{\frac{1}{2013}}$，…②
由①②两式可得，${（\frac{2}{3}）}^{\frac{1}{2013}}$＜q＜1．

点评 本题考查了等比数列的综合应用问题，也考查了新定义的取整函数的应用问题以及不等式的证明问题，是综合性题目．