Question

8．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：
①f（x）=3^x；
②f（x）=x³； 
③f（x）=$\frac{2}{x}$； 
④f（x）=log₂|x|．
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为②③．

Answer 1

分析 根据新定义，结合等比数列中项的定义a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判断四个函数，即可得到结论．

解答 解：由等比数列性质知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①当f（x）=3^x时，f（a_n）f（a_n+2）=3^a_n•3^a_n+2=3^a_n+a_n+2≠3^2a_n+1=f²（a_n+1），故①不正确；
②当f（x）=x³时，f（a_n）f（a_n+2）=a_n³a_n+2³=（a_n+1³）²=f²（a_n+1），故②正确；
③当f（x）=$\frac{2}{x}$时，f（a_n）f（a_n+2）=$\frac{2}{{a}_{n}}•\frac{2}{{a}_{n+2}}$=$（\frac{2}{{a}_{n+1}}）^{2}$=f²（a_n+1），故③正确；
④f（a_n）f（a_n+2）=log₂|a_n|log₂|a_n+2|≠log₂|a_n+1|²=f²（a_n+1），故④不正确
故答案为：②③．

点评 本题考查等比数列性质及命题的真假判断与应用，正确运算，理解新定义是解题的关键，属中档题．