Question

17．设F是抛物线C：y²=12x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，则|FA|+|FB|+|FC|=（　　）

• A． 3
• B． 9
• C． 12
• D． 18

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由已知条件推导出x₁+x₂+x₃=9，根据$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，
得出点F（3，0）是△ABC重心，运用重心的坐标公式得出：x₁+x₂+x₃=9，再根据抛物线的定义得出|FA|+|FB|+|FC|=x₁+3+x₂+3+x₃+3，整体求解即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
抛物线y²=12x焦点坐标F（3，0），准线方程：x=-3，
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，
∴点F（3，0）是△ABC重心，
∴x₁+x₂+x₃=9，y₁+y₂+y₃=0，
而|$\overrightarrow{FA}$|=x₁-（-3）=x₁+3，
|$\overrightarrow{FB}$|=x₂-（-3）=x₂+3，
|$\overrightarrow{FC}$|=x₃-（-3）=x₃+3，
∴|FA|+|FB|+|FC|=x₁+3+x₂+3+x₃+3
=（x₁+x₂+x₃）+9=9+9=18．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的灵活运用