Question

18．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP
（1）求证：平面BEF⊥平面PAC
（2）求三棱锥M-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）要证平面BEF⊥平面PAC，可证平面BEF经过平面PAC的一条垂线，关键是证明BE垂直于平面PAC，
由PB⊥平面ABC得到PB⊥AC，再由已知BC⊥AC，结合线面垂直的判断得到AC⊥平面PBC，即有AC⊥BE，
又由已知得到BE⊥PC，则BE⊥面PAC；
（2）由S_△AEF=S_△PAC-S_△ACE-S_△PEF求出三角形AEF的面积，利用等积法把三棱锥M-BEF的体积转化为三棱锥B-AEF的体积求解．

解答 （1）证明：如图，
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又∵BC⊥AC，且PB∩BC=B，
∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥BE，
又∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，则BE⊥面PAC．
∴面BEF⊥面PAC；
（2）解：在三角形PAC中，$PC=4\sqrt{2}，CA=4，PA=4\sqrt{3}$，
∴∠PCA=90°，
∵S_△AEF=S_△PAC-S_△ACE-S_△PEF=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$，
又∵BE=2$\sqrt{2}$是三棱锥B-AEF的高，
∴${V}_{M-BEF}=\frac{1}{2}{V}_{A-BEF}=\frac{1}{2}{V}_{B-AEF}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•BE=\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{8\sqrt{2}}{3}•2\sqrt{2}=\frac{16}{9}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．