Question

3．在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a-c）（b-a+c）=ac的（　　）

• A． 充分但不必要条件
• B． 必要但不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 由A，B，C成等差数列即可得到B=60°，而根据余弦定理即可得到a²+c²-b²=ac，这样即可求得（b+a-c）（b-a+c）=ac，这就说明A，B，C成等差数列是（b+a-c）（b-a+c）=ac的充分条件；而由（b+a-c）（b-a+c）=ac，便可得到a²+c²-b²=ac，从而根据余弦定理求出B=60°，再根据三角形内角和为180°即可说明B-A=C-B，即得到A，B，C成等差数列，这样即可找出正确选项．

解答 解：（1）如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；

∴由余弦定理得，b²=a²+c²-ac；
∴a²+c²-b²=ac；
∴（b+a-c）（b-a+c）=b²-（a-c）²=b²-a²-c²+2ac=-ac+2ac=ac；
即（b+a-c）（b-a+c）=ac；
∴A，B，C成等差数列是（b+a-c）（b-a+c）=ac的充分条件；
（2）若（b+a-c）（b-a+c）=ac，则：
b²-（a-c）²=b²-a²-c²+2ac=ac；
∴a²+c²-b²=ac；
由余弦定理：a²+c²-b²=2ac•cosB；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
∴B=60°；
∴60°-A=180°-（A+60°）-60°；
即B-A=C-B；
∴A，B，C成等差数列；
∴A，B，C成等差数列是（b+a-c）（b-a+c）=ac的必要条件；
∴综上得，A，B，C成等差数列是（b+a-c）（b-a+c）=ac的充要条件．
故选：C．

点评 考查等差数列的概念，三角形内角和180°，以及余弦定理，充分条件、必要条件、充要条件的概念．